Связь монотонности со знаком производной

Связь между монотонностью функции и ее производной

связь монотонности со знаком производной

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала ( убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная. Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически совершенно очевидна, если вспомнить [ 91, 92]. Монотонность функций. В пределе при x→x0 левая часть неравенства равна производной функции в точке x0, т.е. по свойству сохранения знака.

Вводим новые термины слайд Стационарная точка — внутренняя точка области определения функции, в которых производная равна нулю.

Признак монотонности функции

Критическая точка — внутренняя точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует. Ученики решают задание в парах с опорой на теорему. Взаимопроверка проводится по образцу решения на этом же слайде: Эти точки могут быть точками экстремума.

связь монотонности со знаком производной

Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте: На чертеже выделены одна критическая и одна стационарная точки, не являющиеся точками экстремума! Учащиеся должны отметить, что в точке а производная равна нулю, а в точке b не существует. Тем не менее, в этих точках экстремумов.

Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. На рисунках эскизы графиков монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций, к каждому графику проведены касательные в нескольких точках.

Сравните свои выводы со следующим утверждением. На противоположной доске предлагается рассмотреть график возрастающей функции, имеющей.

Связь между монотонностью функции и ее производной

Подходит ли такая формулировка к этой функции? Обобщаем информацию и делаем выводы слайды 19 — Что общего у построенных прямых? Общее то, что они составляют с осью х острый угол, а значит, у обеих прямых положительный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания.

Производная функции - online presentation

Вообще в любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство На рис. Общее то, что обе они составляют с осью х тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффициент.

Вообще в любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции выполняется неравенство Эти рассуждения показывают, что между характером монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь: Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке.

При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые промежутки, то есть интервалы или открытые лучи. В определении производной такие ограничения не предусмотрены. Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, но все равно продолжает удаляться от начальной точки.

А что такое скорость? Это производная пути по времени. Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы. Доказать, что функция возрастает на всей числовой прямой. Найдем производную заданной функции: Очевидно, что при всех х выполняется неравенство.

Значит, по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой.

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе на тему «Применение производной к исследованию функции»

Решение, а Найдем производную заданной функции: Полученное выражение всегда отрицательно. В самом деле, для всех значений х выполняются неравенства: Это неравенство выполняется при всех значениях х. Значит, по теореме 2, функция убывает на всей числовой прямой. Имеет место следующее утверждение: Решение, а Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает. Согласно теоремам 1 и 2 это связано со знаком производной.

Найдем производную данной функции: Обычно, если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках, эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции.

Таким образом, заданная функция возрастает на лучевозрастает на луче убывает на отрезке [-1,0]. Отметим эти точки на координатной плоскости. Учтем найденные в п. Учтем, наконец, то, что функция непрерывна, то есть ее графиком является сплошная линия. График заданной в условии функции изображен на рис.

Возрастание и убывание функции от bezbotvy

Завершая рассуждения по исследованию функций на монотонность, обратим внимание на одно обстоятельство. Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничиваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

связь монотонности со знаком производной

В дальнейшем эта теорема будет нами востребована, то есть в ее пользе для математики мы сумеем убедиться. А сейчас приведем для наиболее любознательных пример использования теоремы 3 из разряда математических развлечений.

связь монотонности со знаком производной

На графике есть две уникальные точки, определяющие его структуру, — это точки -1; 0 и 0; А теперь взгляните на рис. Не правда ли, он похож на предыдущий график? На нем те же две уникальные точки, но одна из указанных выше трех особенностей этих точек изменилась: Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: Так, функции, графики которых изображены на рис.

Это верно для обеих функций. Значение функции в точке минимума обычно обозначают.

  • Монотонность функции. Возрастание и убывание
  • Монотонная функция
  • Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Не путайте это значение наименьшее, но в локальном смысле с то есть с наименьшим значением функции во всей рассматриваемой области определения в глобальном смысле. Посмотрите еще раз на рис. Вы видите, что наименьшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует. Значение функции в точке максимума обычно обозначают. Не путайте это значение наибольшее, но в локальном смысле.

Вы видите, что наибольшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует. Как искать точки экстремума функции? Ответ на этот вопрос мы сможем найти, еще раз проанализировав графические модели, представленные на рис.